อินทิกรัลไม่มีที่ติ การคำนวณค่า integrals ไม่แน่นอน

หนึ่งในส่วนพื้นฐานของทางคณิตศาสตร์การวิเคราะห์คือแคลคูลัสหนึ่ง ครอบคลุมพื้นที่ที่กว้างที่สุดของวัตถุที่แรกคืออินทิกรัลไม่มีที่สิ้นสุด เพื่อให้ตำแหน่งนั้นเป็นกุญแจสำคัญที่แม้แต่ในโรงเรียนมัธยมก็เผยให้เห็นจำนวนที่เพิ่มขึ้นของมุมมองและโอกาสที่อธิบายถึงคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น

การปรากฏ

ได้อย่างรวดเร็วก่อนที่หนึ่งที่ดูเหมือนเป็นไปไม่ได้สมัยใหม่ที่เกี่ยวข้อง แต่ในทางปฏิบัติปรากฎว่าปรากฏใน พ.ศ. 1800 บ้านเกิดอย่างเป็นทางการถือว่าเป็นประเทศอียิปต์เนื่องจากเราไม่ได้รับหลักฐานก่อนหน้านี้ว่ามีอยู่ เขาเพราะขาดข้อมูลตลอดเวลาที่วางตำแหน่งเช่นเดียวกับปรากฏการณ์ เขาได้รับการยืนยันอีกครั้งถึงระดับการพัฒนาวิทยาศาสตร์ในหมู่ชนชาติต่างๆในสมัยนั้น ในที่สุดผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณย้อนหลังไปถึงศตวรรษที่ 4 ได้พบ พวกเขาอธิบายวิธีการที่นำมารวมกันไม่ จำกัด สาระสำคัญของการที่จะหาปริมาตรหรือพื้นที่ของรูป curvilinear (เครื่องบินสามมิติและสองมิติตามลำดับ) หลักการคำนวณขึ้นอยู่กับการหารตัวเลขเริ่มต้นเป็นองค์ประกอบที่เล็กที่สุดโดยที่ปริมาณของพื้นที่ () ของพวกเขาเป็นที่รู้จักอยู่แล้ว เมื่อเวลาผ่านไปวิธีการดังกล่าวขยายตัว Archimedes ใช้มันเพื่อหาพื้นที่ของพาราโบลา การคำนวณแบบอะนาล็อกในเวลาเดียวกันได้ดำเนินการโดยนักวิทยาศาสตร์ในประเทศจีนโบราณนอกจากนี้ยังเป็นอิสระจากพี่น้องชาวกรีกในด้านวิทยาศาสตร์ด้วย

พัฒนาการ

ความก้าวหน้าที่ต่อเนื่องในศตวรรษที่ 11 นับเป็นยุคของยุคของเราการทำงานของอาหรับนักวิชาการ "เกวียน" อาบูอาลีอัล Basri ที่ผลักดันขอบเขตของรู้จักกันอยู่แล้วที่ได้มาจากสูตรหนึ่งสำหรับการคำนวณผลรวมของจำนวนเงินและองศาจากครั้งแรกที่สี่ที่ใช้สำหรับวันนี้เรารู้ว่าวิธีการของการเหนี่ยวนำคณิตศาสตร์

จิตใจของสมัยใหม่ชื่นชมวิถีชีวิตแบบโบราณชาวอียิปต์สร้างอนุสาวรีย์ที่น่าตื่นตาตื่นใจของสถาปัตยกรรมโดยไม่มีอุปกรณ์พิเศษใด ๆ ยกเว้นบางทีมือของตัวเอง แต่ไม่ได้เป็นแรงของจิตใจของนักวิทยาศาสตร์ในเวลานั้นไม่น้อยมหัศจรรย์? เมื่อเปรียบเทียบกับยุคปัจจุบันชีวิตของพวกเขาดูเหมือนจะเป็นแบบดั้งเดิม แต่การแก้ปัญหาของอินทิเกรตไม่ จำกัด ได้มาจากทุกที่และถูกนำมาใช้ในทางปฏิบัติเพื่อการพัฒนาต่อไป

ขั้นต่อไปเกิดขึ้นในศตวรรษที่สิบหกเมื่อนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียน Cavalieri อนุมานวิธีการแบ่งแยกซึ่งหยิบขึ้นมาโดย Pierre Fermat เป็นบุคคลทั้งสองที่วางรากฐานสำหรับแคลคูลัสหนึ่งตัวที่ทันสมัยซึ่งเป็นที่รู้จักกันในขณะนี้ พวกเขาเชื่อมโยงแนวคิดเรื่องความแตกต่างและการผสมผสานซึ่งก่อนหน้านี้ถูกมองว่าเป็นหน่วยที่เป็นอิสระ โดยทั่วไปแล้วคณิตศาสตร์ของช่วงเวลาเหล่านั้นมีการแยกส่วนอนุภาคของข้อสรุปมีอยู่ด้วยตัวเองมีเขต จำกัด ของการประยุกต์ใช้ เส้นทางของการผสมผสานและการค้นหาพื้นทั่วไปเป็นสิ่งเดียวที่ถูกต้องในเวลานั้นขอบคุณเขาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ก็สามารถเติบโตและพัฒนาได้

เมื่อเวลาผ่านไปทุกสิ่งทุกอย่างก็เปลี่ยนไปและการแต่งตั้งรวมทั้ง. และโดยมากมันถูกกำหนดให้เป็นนักวิทยาศาสตร์ที่ในทางของตัวเองเช่นนิวตันใช้ไอคอนตารางที่วางฟังก์ชั่น integrable หรือเพียงแค่ใส่กัน

ความไม่ลงรอยกันนี้กินเวลาจนถึงศตวรรษที่ XVII,เมื่อนักวิทยาศาสตร์สัญลักษณ์ Gottfried Leibniz นำสัญลักษณ์ที่คุ้นเคยมาให้เราสำหรับทั้งทฤษฎีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ตัวอักษร "S" ที่เหยียดขึ้นอยู่กับตัวอักษรลาตินตัวนี้จริง ๆ เพราะมันหมายถึงผลรวมของ antipodes ชื่อนี้ได้รับการขอบคุณอย่างครบถ้วนสำหรับ Jacob Bernoulli หลังจากผ่านไป 15 ปีแล้ว

ความหมายอย่างเป็นทางการ

อินทิกรัลไม่มีที่สิ้นสุดขึ้นอยู่กับนิยามของฤทธียวต้านตของดังนั้นให้พิจารณาก่อน

ดั้งเดิมคือฟังก์ชันผกผันอนุพันธ์ในทางปฏิบัติมันเรียกว่าดั้งเดิม มิฉะนั้น: ความดั้งเดิมของฟังก์ชัน d เป็นฟังก์ชัน D ที่มีอนุพันธ์ v <=> V "= v การค้นหาตัวทำนายคือการคำนวณอินทิกรัลไม่มีตัวตนและกระบวนการนั้นเรียกว่าการรวม

ตัวอย่างเช่น:

ฟังก์ชัน s (y) = y³, และ S แทน (Y) = (y⁴/ 4)

ชุดของสิ่งที่ตรงกันข้ามของฟังก์ชันที่อยู่ระหว่างการพิจารณาคืออินทิกรัลที่ไม่ จำกัด ซึ่งมีดังต่อไปนี้: ∫v (x) dx

เนื่องจาก V (x) เป็นเพียงบางส่วน(x) dx = V (x) + C, โดยที่ C เป็นค่าคงที่ ค่าคงที่โดยพลการใด ๆ ที่เป็นค่าคงที่ใด ๆ เนื่องจากอนุพันธ์เป็นศูนย์

สรรพคุณ

คุณสมบัติที่มีคุณสมบัติครบถ้วนไม่แน่นอนยึดตามนิยามพื้นฐานและสมบัติของอนุพันธ์

พิจารณาประเด็นสำคัญ:

• อนุพันธ์ของอนุพันธ์ของดั้งเดิมเป็นตัวของตัวเองที่มีผลบวกกับค่าคงที่โดยพลการ C <=> ∫V "(x) dx = V (x) + C;
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันคือฟังก์ชันเริ่มต้น <=> (∫v (x) dx) "= v (x);
• คงถูกนำตัวออกมาจากใต้เครื่องหมายหนึ่ง <=> ∫kv (x) DX = k∫v (x) DX ที่ k - พล;
• หนึ่งซึ่งถูกนำมาจากผลรวมของเท่ากันเหมือนกันเพื่อผลรวมของปริพันธ์ <=> ∫ (V (y) + W (y)) DY = ∫v (y) + DY ∫w (y) DY

จากสมบัติสองตัวสุดท้ายสามารถสรุปได้ว่าอินทิกรัลไม่มีที่สิ้นสุดคือเส้นตรง ด้วยเหตุนี้เราจึงมี: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy

สำหรับการตรึงเราพิจารณาตัวอย่างของการแก้ปัญหาของ integrals ไม่แน่นอน

มันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะหาส่วนประกอบ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + ซี

จากตัวอย่างเราสามารถสรุป: ไม่ทราบวิธีการแก้ integrals ไม่แน่นอน? เพียงแค่หายาที่ไม่ใช้แล้วหมดเลย! และนี่คือหลักการของการค้นหาด้านล่าง

วิธีการและตัวอย่าง

เพื่อที่จะแก้ปัญหาที่ขาดหายไปเราสามารถใช้วิธีการดังต่อไปนี้:

• ใช้โต๊ะสำเร็จรูป
• บูรณาการโดยชิ้นส่วน;
• บูรณาการโดยการเปลี่ยนตัวแปร
• การกีดกันภายใต้เครื่องหมายของความแตกต่าง

ตาราง

วิธีที่ง่ายที่สุดและสนุกที่สุด ในขณะนี้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สามารถอวดตารางที่ค่อนข้างกว้างขวางซึ่งในสูตรพื้นฐานของ integrals ไม่แน่นอนจะกำหนด กล่าวอีกนัยหนึ่งมีแม่แบบที่ได้รับมาก่อนหน้าคุณและสำหรับคุณ แต่ก็ยังคงใช้ได้ต่อไปเท่านั้น นี่คือรายการของตำแหน่งตารางหลักที่เกือบทุกตัวอย่างมีวิธีแก้ปัญหาสามารถได้รับ:

• ∫0dy = C, โดยที่ C เป็นค่าคงตัว
• ∫dy = y + C, โดยที่ C เป็นค่าคงตัว;
• ∫yⁿdy = (y^{n + 1}) / (n + 1) + C โดยที่ C เป็นค่าคงตัวและ n เป็นจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, โดยที่ C เป็นค่าคงตัว;
• ∫e^Ydy = e^Y + C, โดยที่ C เป็นค่าคงตัว;
• ∫k^Ydy = (k^Y/ ln k) + C, โดยที่ C เป็นค่าคงตัว
• ∫cosydy = siny + C, โดยที่ C เป็นค่าคงตัว;
• ∫sinydy = -cosy + C โดยที่ C เป็นค่าคงตัว
• ∫dy / cos²y = tgy + C, โดยที่ C เป็นค่าคงตัว;
• ∫dy / บาป²y = -ctgy + C, โดยที่ C เป็นค่าคงตัว;
• ∫dy / (1 + y²) = arctgy + C, โดยที่ C เป็นค่าคงตัว
• ∫chydy = ขี้อาย + C, โดยที่ C เป็นค่าคงตัว;
• ∫shydy = chy + C โดยที่ C เป็นค่าคงที่

ถ้าจำเป็นให้ใช้สองขั้นตอนนำ integrand ไปดูตารางและเพลิดเพลินไปกับชัยชนะ ตัวอย่าง: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x-2) d (5x-2) = 1/5 x sin (5x-2) + C

โดยการตัดสินใจเป็นที่ชัดเจนว่าสำหรับตัวอย่างตาราง integrand ไม่มีตัวคูณของ 5 เราเพิ่มมันคูณด้วย 1/5 แบบขนานเพื่อให้นิพจน์ทั่วไปไม่เปลี่ยนแปลง

บูรณาการตามส่วนต่างๆ

พิจารณาสองฟังก์ชัน - z (y) และ x (y) ต้องมีความแตกต่างกันอย่างต่อเนื่องทั้งโดเมนของนิยาม โดยหนึ่งในคุณสมบัติที่แตกต่างเรามี: d (xz) = xdz + zdx การรวมทั้งสองด้านของสมการเราได้รับ: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz

การเขียนสมการใหม่เราจะได้สูตรที่อธิบายถึงวิธีการรวมกันโดยส่วนต่างๆ: ∫zdx = zx - ∫xdz

ทำไมจึงจำเป็น? ความจริงก็คือตัวอย่างบางส่วนมีโอกาสที่จะทำให้ง่ายขึ้นพูดค่อนข้างลด∫zdxถึง∫xdzถ้าหลังใกล้เคียงกับรูปแบบตาราง นอกจากนี้สูตรนี้สามารถนำมาใช้มากกว่าหนึ่งครั้งเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด

วิธีการแก้ integrals ไม่แน่นอนในลักษณะนี้:

• จำเป็นต้องคำนวณ∫ (s + 1) e^2sds

∫ (x + 1) e^2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e^2s, dy = e^2xds} = ((s + 1) จ^2s) / 2-1 / 2∫e^2sdx = ((s + 1) e^2s) / 2-e^2s/ 4 + C;

• คุณจำเป็นต้องคำนวณ∫ lnsds

∫ lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + ซี

การเปลี่ยนตัวแปร

หลักการนี้แก้ integrals ไม่แน่นอนไม่ได้น้อยกว่าที่ต้องการก่อนหน้านี้สองแม้ว่าจะยากขึ้น วิธีการดังต่อไปนี้: ให้ V (x) เป็นส่วนหนึ่งของฟังก์ชัน v (x) ในกรณีที่ตัวตนของตัวเองในตัวอย่างมีความซับซ้อนมีโอกาสที่จะสับสนและผิดพลาด เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้การเปลี่ยนแปลงจากตัวแปร x ถึง z มีการปฏิบัติซึ่งในนิพจน์ทั่วไปจะทำให้เข้าใจง่ายขึ้นเมื่อพึ่งพา z กับ x ถูกเก็บรักษาไว้

ในภาษาคณิตศาสตร์จะมีลักษณะดังนี้: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y "(z) dz = V (z) = V (y^-1(x)) โดยที่ x = y (z) คือการเปลี่ยนแปลง และแน่นอนฟังก์ชันผกผัน z = y^-1(x) อธิบายถึงการพึ่งพิงและความสัมพันธ์ของตัวแปร การสังเกตที่สำคัญคือความแตกต่าง dx จำเป็นต้องถูกแทนที่ด้วยความแตกต่างของ dz ตั้งแต่การเปลี่ยนตัวแปรในอินทิกรัลไม่ จำกัด หมายถึงการแทนที่ของมันทุกที่และไม่เพียง แต่ใน integrand

ตัวอย่างเช่น:

• จำเป็นต้องหา∫ (s + 1) / (s² + 2 วินาที - 5) ds

เราใช้การทดแทน z = (s + 1) / (s²+ 2 วินาที-5) จากนั้น dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2 เป็นผลให้เราได้รับการแสดงออกดังต่อไปนี้ซึ่งเป็นเรื่องง่ายมากที่จะคำนวณ:

∫ (s + 1) / (s²+ 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s²+ 2 วินาที-5 | + C;

• มีความจําเปนที่จะตองหาอินทิกรัล∫2^sอี^sDX

สำหรับการแก้ปัญหาเราจะเขียนนิพจน์ในรูปแบบต่อไปนี้:

∫2^sอี^sds = ∫ (2e)^sds

เราแสดงถึงโดย a = 2e (โดยการแทนที่อาร์กิวเมนต์ขั้นตอนนี้ไม่ได้เป็นยังคง s) เราให้ของเราได้อย่างรวดเร็วก่อนซับซ้อนซับซ้อนเพื่อรูปแบบตารางธาตุ:

∫ (2e)^sds = ∫a^sds = a^s / lna + C = (2e)^s / ln (2e) + C = 2^sอี^s / ln (2 + lne) + C = 2^sอี^s / (ln2 + 1) + C

การวาดภาพภายใต้เครื่องหมายของความแตกต่าง

โดยทั่วไปวิธีนี้ของ integrals แน่นอนเป็นพี่ชายฝาแฝดของหลักการเปลี่ยนตัวแปร แต่มีความแตกต่างในกระบวนการออกแบบ ลองพิจารณาเพิ่มเติมในรายละเอียด

หาก∫v (x) DX = V (x) + C และการ y = Z (x) แล้ว∫v (y) DY = V (y) + ซี

ในเวลาเดียวกันเราไม่ควรลืมการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญเล็กน้อยซึ่ง ได้แก่ :

• dx = d (x + a) โดยที่ a เป็นค่าคงที่
• dx = (1 / a) d (ax + b) โดยที่ a เป็นค่าคงที่ แต่ไม่เท่ากับศูนย์
• xdx = 1 / 2d (x² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx)

ถ้าเราพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อเราคำนวณอินทิกรัลไม่ จำกัด ตัวอย่างจะลดลงเป็นสูตรทั่วไป w "(x) dx = dw (x)

ตัวอย่าง:

• จำเป็นต้องหา∫ (2s + 3)²ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3)²ds = 1 / 2∫ (2 วินาที + 3)²d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3)²) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3)² + C;

∫tgsds = ∫ซินแส / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

ความช่วยเหลือออนไลน์

ในบางกรณีความผิดอาจเป็นได้หรือความเกียจคร้านหรือความจำเป็นเร่งด่วนคุณสามารถใช้เคล็ดลับออนไลน์หรือใช้เครื่องคิดเลขของ integrals ไม่แน่นอน แม้จะมีความซับซ้อนและการถกเถียงกันอย่างสิ้นเชิงของการรวมกันของสารละลายก็ตามการแก้ปัญหาของพวกเขาขึ้นอยู่กับอัลกอริธึมบางประการซึ่งสร้างขึ้นจากหลักการ "ถ้าไม่ ... แล้ว ... "

ตัวอย่างโดยเฉพาะอย่างยิ่งตัวอย่างที่ซับซ้อนเช่นไม่ต้นแบบเครื่องคิดเลขเป็นมีกรณีที่การตัดสินใจมีการหาเทียม "บังคับ" โดยการแนะนำองค์ประกอบบางอย่างในกระบวนการเพราะผลที่ได้คือวิธีที่เห็นได้ชัดในการเข้าถึง แม้จะมีการถกเถียงกันทั้งหมดของคำแถลงนี้ แต่ก็เป็นความจริงเนื่องจากคณิตศาสตร์ในหลักการเป็นวิทยาศาสตร์เชิงนามธรรมและพิจารณางานหลักเพื่อขยายขอบเขตของความเป็นไปได้ แท้จริงสำหรับเรียบทำงานในทฤษฎีเป็นเรื่องยากมากที่จะเลื่อนขึ้นและพัฒนาจึงไม่คิดว่าตัวอย่างของการแก้ปริพันธ์ไม่แน่นอนซึ่งทำให้เรา - นี่คือความสูงของโอกาส อย่างไรก็ตามให้เรากลับไปยังด้านเทคนิคของเรื่อง อย่างน้อยเพื่อตรวจสอบการคำนวณที่คุณสามารถใช้บริการที่ทุกอย่างถูกเขียนขึ้นก่อนเรา หากมีความจำเป็นในการคำนวณอัตโนมัติของการแสดงออกที่ซับซ้อนแล้วพวกเขาไม่สามารถทำจะต้องใช้ซอฟต์แวร์ที่รุนแรงมากขึ้น เป็นมูลค่าการให้ความสนใจก่อนทุกสภาพแวดล้อม MatLab

ใบสมัคร

การแก้ปัญหาของ integrals ไม่แน่นอนในครั้งแรกมุมมองดูเหมือนสมบูรณ์ออกจากความเป็นจริงเนื่องจากเป็นเรื่องยากที่จะเห็นเครื่องบินที่เห็นได้ชัดของการประยุกต์ใช้ อันที่จริงพวกเขาไม่สามารถนำมาใช้โดยตรงได้ทุกที่ แต่พวกเขาถือว่าเป็นองค์ประกอบขั้นกลางที่ขาดไม่ได้ในกระบวนการหาแนวทางแก้ไขที่ใช้ในทางปฏิบัติ ดังนั้นการผสมผสานจะแตกต่างกันโดยสิ้นเชิงเนื่องจากมีส่วนร่วมอย่างแข็งขันในกระบวนการแก้สมการ

ในทางกลับกันสมการเหล่านี้มีมีอิทธิพลโดยตรงต่อการแก้ปัญหาทางกลการคำนวณวิถีและการนำความร้อน - ในระยะสั้นทุกอย่างที่ทำให้ปัจจุบันและรูปร่างอนาคต อินทิกรัลแบบไม่ จำกัด ตัวอย่างที่เราพิจารณาข้างต้นเป็นเรื่องเล็กน้อยเพียงอย่างรวดเร็วเนื่องจากเป็นพื้นฐานสำหรับการค้นพบใหม่ ๆ